Задачка для второго класса церковноприходской школы.

12+3+45 = 60
54+3+2+1 = 60

[quote="-Феникс-"][color=red][b]Задача.[/b][/color]

[b]Имеется бесконечно растяжимая резинка некоторой начальной длины. Резинка растягивается равномерно-одинаково (то есть при растяжении резинки как целого, каждая из ее частей растягивается пропорционально длине этой части).
Один конец резинки привязан к столбу. К другому концу резинки привязан Осёл, который удаляется от столба с некоторой постоянной скоростью (растягивая при этом резинку). На резинку в каком-то месте (между столбом и Ослом) посадили Жука, который бежит по резинке в направлении Осла. Собственная скорость Жука (как если бы он бежал по неподвижной поверхности) меньше собственной скорости Осла.
Внимание, вопрос: сможет ли Жук догнать Осла? Если сможет, то при каких условиях?

(от физических процессов просьба абстрагироваться, т.е. считать резинку бесконечно малой упругости, считать осла способным уйти на бесконечно большое расстояние от столба)[/b][/quote]
Жук догонит осла при выполнении следующего условия:
Vzh*Lo >Vo*Lzh
где
Vzh - скорость жука,
Vo - скорость осла,
Lo - длина резинки в начальный момент времени,
Lzh - расстояние от жука до неподвижного конца рeзинки в начальный момент времени

[quote="ВБР"][quote="cubis"]http://www.linuxkungfu.org/images/fun/?image=61[/img][/quote]
На самом деле фигуры не одинаковы. В этом нетрудно убедиться, посмотрев вдоль гипотенузы - на нижней фигуре это ломаная линия.[/quote]
Ошибаетесь, батенька. На верхней фигуре - она тоже ломаная линия. Только на верхней она впуклая, а на нижней выпулкая.
Это очень хорошо видно на нижнем маленьком схематичном рисунке

[quote="-Феникс-"][color=red][b]Задача.[/b][/color]

[b]Имеется бесконечно растяжимая резинка некоторой начальной длины. Резинка растягивается равномерно-одинаково (то есть при растяжении резинки как целого, каждая из ее частей растягивается пропорционально длине этой части).
Один конец резинки привязан к столбу. К другому концу резинки привязан Осёл, который удаляется от столба с некоторой постоянной скоростью (растягивая при этом резинку). На резинку в каком-то месте (между столбом и Ослом) посадили Жука, который бежит по резинке в направлении Осла. Собственная скорость Жука (как если бы он бежал по неподвижной поверхности) меньше собственной скорости Осла.
Внимание, вопрос: сможет ли Жук догнать Осла? Если сможет, то при каких условиях? [/b][/quote]

Пусть скорость осла V, а жука U (относительно резинки). Выберем координаты так, чтобы положение осла в момент времени t было Vt. Обозначим долю резинки, пройденную жуком за y(t). Это и будет наша искомая переменная, и надо будт вычислить, может ли она превысить 1.

Пусть в некоторый момент t координата осла xO(t)=Vt, тогда координата жука x1(t)=y(t)Vt. Прошел небольшой промежуток времени dt. Новая координата осла будет xO(t+dt)=Vt +Vdt. Новое положение жука будет x1(t+dt)=yVt + yVdt + Udt.
Новое значение параметра y будет равно их отношению.
Подставляем, делим на dt и получаем дифур:
dy/dt=U/Vt, откуда следует что
y=(U/V)ln(t) + const. Логарифм - функция неограниченная сверху.
Так что, если жук ползет в сторону осла, он доползет за конечное время при любом раскладе скоростей и начальных координат.

[quote="zorge"]

Пусть скорость осла V, а жука U (относительно резинки). Выберем координаты так, чтобы положение осла в момент времени t было Vt. Обозначим долю резинки, пройденную жуком за y(t). Это и будет наша искомая переменная, и надо будт вычислить, может ли она превысить 1.

Пусть в некоторый момент t координата осла xO(t)=Vt, тогда координата жука x1(t)=y(t)Vt. Прошел небольшой промежуток времени dt. Новая координата осла будет xO(t+dt)=Vt +Vdt. Новое положение жука будет x1(t+dt)=yVt + yVdt + Udt.
Новое значение параметра y будет равно их отношению.
Подставляем, делим на dt и получаем дифур:
dy/dt=U/Vt, откуда следует что
y=(U/V)ln(t) + const. Логарифм - функция неограниченная сверху.
Так что, если жук ползет в сторону осла, он доползет за конечное время при любом раскладе скоростей и начальных координат.[/quote]

Согласен: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Достаточно, чтобы жук полз в сторону осла. Заметьте, что если он ползёт в другую сторону, то непременно доползёт до дерева :)